Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$及|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|；
（Ⅱ）若f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2t|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的最小值為g（t），求g（t）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用數(shù)量積的坐標表示求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$；再把兩向量的坐標作和后代入模的計算公式求得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|；
（Ⅱ）把$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$及|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|代入f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2t|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，配方后分類討論求得最小值為g（t）．

解答 解：（Ⅰ）由$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），得
$\overrightarrow a•\overrightarrow b=cos\frac{3}{2}xcos\frac{x}{2}-sin\frac{3}{2}xsin\frac{x}{2}=cos2x$，
|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=$\sqrt{（cos\frac{3x}{2}+cos\frac{x}{2}）^{2}+（sin\frac{3x}{2}-sin\frac{x}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2+2cos2x}=\sqrt{4{{cos}^2}x}=2cosx$；
（Ⅱ）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2t|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=cos2x-4tcosx=2（cosx-t）²-2t²-1（0≤cosx≤1）．
當t＜0時，若cosx=0，有f（x）_min=-1；
當0≤t≤1時，若cosx=t，有$f{（x）_{min}}=-2{t^2}-1$；
當t＞1時，若cosx=1，有f（x）_min=1-4t．
∴$g（t）=\left\{\begin{array}{l}-1\;\;（t＜0）\;\\-1-2{t^2}\;（0≤t≤1）\\ 1-4t\;\;（t＞1）\end{array}\right.$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，訓練了利用配方法求函數(shù)的最值，是中檔題．