15.已知向量$\overrightarrow{a}$=(cos$\frac{3}{2}$x,sin$\frac{3}{2}$x),$\overrightarrow$=(cos$\frac{x}{2}$,-sin$\frac{x}{2}$),x∈[0,$\frac{π}{2}$].
(Ⅰ)求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$及|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|;
(Ⅱ)若f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2t|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的最小值為g(t),求g(t).

分析 (Ⅰ)直接利用數(shù)量積的坐標表示求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$;再把兩向量的坐標作和后代入模的計算公式求得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|;
(Ⅱ)把$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$及|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|代入f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2t|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|,配方后分類討論求得最小值為g(t).

解答 解:(Ⅰ)由$\overrightarrow{a}$=(cos$\frac{3}{2}$x,sin$\frac{3}{2}$x),$\overrightarrow$=(cos$\frac{x}{2}$,-sin$\frac{x}{2}$),得
$\overrightarrow a•\overrightarrow b=cos\frac{3}{2}xcos\frac{x}{2}-sin\frac{3}{2}xsin\frac{x}{2}=cos2x$,
|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=$\sqrt{(cos\frac{3x}{2}+cos\frac{x}{2})^{2}+(sin\frac{3x}{2}-sin\frac{x}{2})^{2}}$=$\sqrt{2+2cos2x}=\sqrt{4{{cos}^2}x}=2cosx$;
(Ⅱ)f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2t|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=cos2x-4tcosx=2(cosx-t)2-2t2-1(0≤cosx≤1).
當t<0時,若cosx=0,有f(x)min=-1;
當0≤t≤1時,若cosx=t,有$f{(x)_{min}}=-2{t^2}-1$;
當t>1時,若cosx=1,有f(x)min=1-4t.
∴$g(t)=\left\{\begin{array}{l}-1\;\;(t<0)\;\\-1-2{t^2}\;(0≤t≤1)\\ 1-4t\;\;(t>1)\end{array}\right.$.

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算,考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用,訓練了利用配方法求函數(shù)的最值,是中檔題.

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