18.已知函數(shù)$f(x)={cos^2}x+{cos^2}(x-\frac{π}{6})$,x∈R
(Ⅰ)求f(x)最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間$[-\frac{π}{3},\frac{π}{4}]$上的最大值和最小值.

分析 由三角函數(shù)公式化簡可得f(x)=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin(2x+\frac{π}{3})+1$
(1)由周期公式可得;
(2)由x的范圍和三角函數(shù)的最值可得.

解答 解:由三角函數(shù)公式化簡可得f(x)=cos2x+cos2(x-$\frac{π}{6}$)
=$\frac{1+cos2x}{2}+\frac{{1+cos(2x-\frac{π}{3})}}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2x+\frac{3}{4}cos2x+1$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin(2x+\frac{π}{3})+1$
(1)函數(shù)f(x)的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$;
(2)∵函數(shù)f(x)在$[{-\frac{π}{3},\frac{π}{12}}]$單調(diào)遞增,在$[{\frac{π}{12},\frac{π}{4}}]$單調(diào)遞減,
∵$f(-\frac{π}{3})=\frac{1}{4},f(\frac{π}{12})=\frac{{\sqrt{3}}}{2}+1,f(\frac{π}{4})=1+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$,
∴$f{(x)_{min}}=\frac{1}{4},f{(x)_{max}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}+1$.

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換,涉及三角函數(shù)周期性和最值,屬中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)2,g(x)=a(lnx)2,其中a∈R,且a≠0.
(I)若直線x=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))與曲線y=f(x)和y=g(x)分別交于 A、B兩點,且曲線y=f(x)在點A處的切線與曲線y=g(x)在點B處的切線互相平行,求a的值;
(Ⅱ)設(shè)h(x)=f(x)+mlnx(m∈R,且m≠0)有兩個極值點x1,x2,且x1<x2,證明:$h({x_2})>\frac{1-2ln2}{4}$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

9.設(shè)ln3=a,ln7=b,則ea+eb=10.(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))

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6.如圖1所示,在邊長為12的正方形AA′A′1A1中,點B,C在線段AA′上,且AB=3,BC=4,作BB1∥AA1,分別交A1A′1、AA′1于點B1、P,作CC1∥AA1,分別交A1A′1、AA′1于點C1、Q,將該正方形沿BB1、CC1折疊,使得A′A′1與AA1重合,構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1.則在三棱柱ABC-A1B1C1中,直線AP與直線A1Q所成角的余弦值為$\frac{1}{5}$.

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13.下列函數(shù)在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是( 。
A.y=2xB.y=x3+xC.$y=-\frac{1}{x}$D.y=-log2x

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3.函數(shù)y=$\frac{(2x+1)^{2}}{(x+1)(4x+1)}$(x≥0)的最小值為$\frac{8}{9}$.

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10.已知F(x)=$\frac{1}{x+1}$,f(x)=F′(x),求${∫}_{0}^{1}$f(x)dx.

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7.已知點O為坐標(biāo)原點,點An(n,αn)(n∈N*)為函數(shù)f(x)=$\frac{1}{x+1}$的圖象上的任意一點,向量$\overrightarrow{i}$=(0,1).θn是向量$\overrightarrow{O{A}_{n}}$與$\overrightarrow{i}$的夾角,則數(shù)列|$\frac{cos{θ}_{n}}{sin{θ}_{n}}$|的前2015項的和為( 。
A.2B.$\frac{2014}{2015}$C.$\frac{2015}{2016}$D.1

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8.已知a,b∈R,則“a+b>2”是“a>1或b>1”( 。
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不必要也不充分條件充要條件

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