Question

8．設函數(shù)f（x）=（x-1）²，g（x）=a（lnx）²，其中a∈R，且a≠0．
（I）若直線x=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）與曲線y=f（x）和y=g（x）分別交于 A、B兩點，且曲線y=f（x）在點A處的切線與曲線y=g（x）在點B處的切線互相平行，求a的值；
（Ⅱ）設h（x）=f（x）+mlnx（m∈R，且m≠0）有兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂，證明：$h（{x_2}）＞\frac{1-2ln2}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出兩個函數(shù)的導數(shù)，通過f′（e）=2（e-1求解a即可．
（Ⅱ）求出h（x）的導數(shù)，利用兩個極值點x₁，x₂，推出$h（{x_2}）={（{x_2}-1）^2}+（2{x_2}-2x_2^2）ln{x_2}$，構造函數(shù)φ（t）=（t-1）²+（2t-2t²）lnt，$\frac{1}{2}＜t＜1$．利用函數(shù)的導數(shù)，求出函數(shù)的最值，推出結果即可．

解答 解：（Ⅰ）因為f′（x）=2（x-1），$g'（x）=\frac{2alnx}{x}$，…（2分）
所以f′（e）=2（e-1），$g'（e）=\frac{2alne}{e}=\frac{2a}{e}$．
由f′（e）=g′（e），得a=e²-e．…（5分）
（Ⅱ）$h'（x）=2（x-1）+\frac{m}{x}=\frac{{2{x^2}-2x+m}}{x}$，x＞0．
因為h（x）有兩個極值點x₁，x₂，所以x₁，x₂是方程2x²-2x+m=0的兩個實數(shù)根，x₁+x₂=1．而0＜x₁＜x₂，所以$\frac{1}{2}＜{x_2}＜1$．
因為$m=-2{x_2}^2+2{x_2}$，所以$h（{x_2}）={（{x_2}-1）^2}+（2{x_2}-2x_2^2）ln{x_2}$．…（8分）
令φ（t）=（t-1）²+（2t-2t²）lnt，$\frac{1}{2}＜t＜1$．
則$φ'（t）=2（t-1）+（2-4t）lnt+（2t-2{t^2}）•\frac{1}{t}=2（1-2t）lnt＞0$，
所以φ（t）在$（\frac{1}{2}\;，\;1）$內是增函數(shù)．
于是$φ（t）＞φ（\frac{1}{2}）=\frac{1-2ln2}{4}$，即$h（{x_2}）＞\frac{1-2ln2}{4}$．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，切線方程以及函數(shù)的單調性以及構造法的應用，函數(shù)的最值的求法，考查發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力．