Question

2．已知0＜φ＜π，且滿足sin（φ+$\frac{π}{4}$）=sin（φ-$\frac{π}{4}$），設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{φ}{2}$）．
（1）求φ的值；
（2）設(shè)$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，且f（α）=-$\frac{5}{13}$，求sin2α的值．

Answer 1

分析 （1）由題意sin（φ+$\frac{π}{4}$）=sin（φ-$\frac{π}{4}$），化簡(jiǎn)可得cosφ=0，再結(jié)合0＜φ＜π，求得φ的值．
（2）由f（α）=-$\frac{5}{13}$，求得sin（2α+$\frac{π}{4}$）的值，可得cos（2α+$\frac{π}{4}$）的值，再根據(jù)sin2α=$sin[（2α+\frac{π}{4}）-\frac{π}{4}]$ 利用兩角差的正弦公式計(jì)算求得結(jié)果．

解答 解：（1）由已知得$sinφcos\frac{π}{4}+cosφsin\frac{π}{4}=sinφcos\frac{π}{4}-cosφsin\frac{π}{4}$，
化簡(jiǎn)得$cosφsin\frac{π}{4}=0$，即cosφ=0．
又0＜φ＜π，所以$φ=\frac{π}{2}$．
（2）由（1）得$f（x）=sin（2x+\frac{π}{4}）$，由$f（α）=-\frac{5}{13}$，得$sin（2α+\frac{π}{4}）=-\frac{5}{13}$，
因?yàn)?\frac{π}{4}＜α＜\frac{π}{2}$，所以$\frac{3π}{4}$＜2α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{5π}{4}$，可得$cos（2α+\frac{π}{4}）=-\frac{12}{13}$．
則sin2α=$sin[（2α+\frac{π}{4}）-\frac{π}{4}]$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2α+\frac{π}{4}）-\frac{{\sqrt{2}}}{2}cos（2α+\frac{π}{4}）$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}×（-\frac{5}{13}）-\frac{{\sqrt{2}}}{2}×（-\frac{12}{13}）=\frac{{7\sqrt{2}}}{26}$．

點(diǎn)評(píng) 題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．