Question

2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知：A（3，0），B（0，4），O為坐標(biāo)原點，以點P為圓心的圓P半徑為1．
①點P 坐標(biāo)為P（1，2），試判斷圓P與△OAB三邊的交點個數(shù)；
②動點P在△OAB內(nèi)運動，圓P與△OAB的三邊有四個交點，求P點形成區(qū)域的面積．

Answer 1

分析 ①求出直線AB的方程，判斷圓P與直線AB相交，點P坐標(biāo)為P（1，2），圓P與OB相切，與OA相離，即可得出結(jié)論；
②取一個滿足條件的圓，然后再找臨界狀況，第一種臨界：與三邊相切，即三角形內(nèi)三條藍(lán)色的直線；第二種臨界：圓只與三角形的一個角相交，有兩個頂點，即圖內(nèi)三個，

解答 解：①直線AB的方程為4x+3y-12=0，P到AB的距離為$\frac{|4+6-12|}{5}$=$\frac{2}{5}$＜1，
∴圓P與直線AB相交，
點P坐標(biāo)為P（1，2），圓P與OB相切，與OA相離，
∴圓P與△OAB三邊的交點個數(shù)為3個；
②直線AB的方程為4x+3y-12=0，當(dāng)x=1時，y=$\frac{8}{3}$
這樣上方的平行四邊形的面積為$\frac{5}{3}$；
當(dāng)y=1時，x=$\frac{9}{4}$，
這樣右方的平行四邊形的面積為$\frac{5}{4}$；
正方形面積為1，三個扇形正好為半徑為1的半圓
∴最終結(jié)果為三個四邊形面積之和減去半圓，
即面積為$\frac{47-6π}{12}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)．