Question

11．如圖，側(cè)棱與底面積垂直的三棱柱ABC-A₁B₁C₁各側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)均為2，P，Q分別是棱AB、AC的中點(diǎn)，連結(jié)A₁B．
（Ⅰ）求證：直線PQ∥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）求直線A₁B與平面ACC₁A₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)條件即可得到PQ∥BC，從而由線面平行的判定定理得出直線PQ∥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）連接BQ，A₁Q，根據(jù)已知條件即可說(shuō)明∠BA₁Q便是直線A₁B和平面ACC₁A₁所成角，根據(jù)已知的邊的長(zhǎng)度求出BQ，A₁B，從而在Rt△A₁BQ中，由sin∠BA₁Q=$\frac{BQ}{{A}_{1}B}$即可求得答案．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵點(diǎn)P，Q分別是AB，AC的中點(diǎn)；
∴PQ∥BC，BC?平面B₁BCC₁，PQ?平面B₁BCC₁；
∴直線PQ∥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）如圖，連接BQ，QA₁；
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱和底面垂直；
∴A₁A⊥平面ABC，BQ?平面ABC；
∴A₁A⊥BQ，即BQ⊥A₁A；
又△ABC三邊相等，Q為AC中點(diǎn)；
∴BQ⊥AC，A₁A∩AC=A；
∴BQ⊥平面ACC₁A₁；
∴∠BA₁Q是直線A₁B和平面ACC₁A₁所成的角；
∵AB=BC=AC=A₁A=2；
∴$BQ=\sqrt{3}$，${A}_{1}B=2\sqrt{2}$；
∴在Rt△A₁BQ中，sin∠BA₁Q=$\frac{BQ}{{A}_{1}B}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$；
∴直線A₁B與平面ACC₁A₁所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 考查三角形中位線的性質(zhì)，線面平行的判定定理，以及線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，線面角的概念及找法，正弦函數(shù)的定義．