Question

17．已知正四面體ABCD的棱長為1，O為底面BCD的中心，則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}$=（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由題意可得，AO⊥平面BCD，連接BO并延長交DC于E點(diǎn)，則點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，可求BE，由BO=$\frac{2}{3}BE$可求BO，然后利用勾股定理可求OA，而$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}$=（$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}$）•$\overrightarrow{AO}$=${\overrightarrow{AO}}^{2}+\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OB}$=${\overrightarrow{AO}}^{2}$，代入可求

解答 解：由題意可得，AO⊥平面BCD，
接BO并延長交DC于E點(diǎn)，則點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)．
∵正△BCD的邊長為1，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵O為底面BCD的中心，
∴BO=$\frac{2}{3}BE$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△AOB中，OA=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}$=（$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}$）•$\overrightarrow{AO}$=${\overrightarrow{AO}}^{2}+\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OB}$=${\overrightarrow{AO}}^{2}$=$\frac{2}{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了正四面體、等邊三角形的性質(zhì)、數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了推理能力和計(jì)算能力．