Question

15．已知函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0），其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f（x）+f′（x）＜0，則不等式f（x+2015）＜$\frac{f（-4）}{{e}^{x+2019}}$的解集為（　�。�

• A． {x|x＞-2019}
• B． {x|x＜-2015}
• C． {x|-2019＜x＜-2015}
• D． {x|-2019＜x＜0}

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^x•f（x），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，將不等式進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^x•f（x），
則g′（x）=[e^x•f（x）]′=e^x•f′（x）+e^x•f（x）=e^x•[f（x）+f′（x）]，
∵f（x）+f′（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
即g（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，
由不等式f（x+2015）＜$\frac{f（-4）}{{e}^{x+2019}}$，
得e^x+2015•f（x+2015）＜e^-4•f（-4），
即g（x+2015）＜g（-4），
則-4＜x+2015＜0，得-2019＜x＜-2015．
即不等式f（x+2015）＜$\frac{f（-4）}{{e}^{x+2019}}$的解集為{x|-2019＜x＜-2015}．
故選：C

點評 本題主要考查不等式的求解，構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．