Question

2．某學(xué)校有長(zhǎng)度為14米的舊墻一面，現(xiàn)準(zhǔn)備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形，面積為126m²的活動(dòng)室，工程條件是：
①建1m新墻的費(fèi)用為a元；
②修1m舊墻的費(fèi)用是$\frac{a}{4}$元；
③拆去1m舊墻所得的材料，建1m新墻的費(fèi)用為$\frac{a}{2}$元，經(jīng)過(guò)討論有兩種方案：
（1）問(wèn)如何利用舊墻的一段x米（x＜14）為矩形廠房的一面邊長(zhǎng)；
（2）矩形活動(dòng)室的一面墻的邊長(zhǎng)x≥14，利用舊墻，即x為多少時(shí)建墻的費(fèi)用最��？
（1）（2）兩種方案，哪種方案最好？

Answer 1

分析 設(shè)利用舊墻的一面邊長(zhǎng)x米，則矩形另一邊長(zhǎng)為$\frac{126}{x}$米．然后對(duì)x分類求出總費(fèi)用y關(guān)于x的函數(shù)式，通過(guò)最值之間的關(guān)系比較進(jìn)行選擇．

解答 解：設(shè)利用舊墻的一面邊長(zhǎng)x米，則矩形另一邊長(zhǎng)為$\frac{126}{x}$米．
（1）方案：當(dāng)x＜14米時(shí)，修舊墻費(fèi)用為x•$\frac{a}{4}$元，拆舊墻造新墻費(fèi)用為（14-x）•$\frac{a}{2}$元，
其余新墻費(fèi)用：（2x+$2×\frac{126}{x}$-14）•a元．
∴總費(fèi)用y=7a（$\frac{x}{4}+\frac{36}{x}$-1）$≥7a•（2\sqrt{\frac{x}{4}•\frac{36}{x}}-1）=35a$（元），
當(dāng)x=12時(shí)，y_min=35a元；
（2）方案：當(dāng)x≥14米時(shí)，利用舊墻費(fèi)用為14•$\frac{a}{4}$=$\frac{7a}{2}$元，建新墻費(fèi)用為（2x+$2×\frac{156}{x}$-14）a元
∴總費(fèi)用為：y=2a（x+$\frac{126}{x}$）-$\frac{21}{2}$a（元），
設(shè)f（x）=x+$\frac{126}{x}$（x≥14），則f′（x）=1-$\frac{126}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-126}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x≥14時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（14）=35.5a元．
由35a＜35.5a，可知采用（1）方案更好些．
答：采用（1）方案更好些

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，訓(xùn)練了利用基本不等式及導(dǎo)數(shù)求最值，是中檔題．