Question

19．已知橢圓C的中心在坐標原點O，右焦點F（$\sqrt{3}$，0），M、N是橢圓C的左、右頂點，D是橢圓C上異于M、N的動點，且△MND面積的最大值為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)斜率為$\frac{1}{2}$的直線，與橢圓C相交于A，B兩點，求△OAB的面積的最大值，并寫出此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得a²-b²=3，當D為橢圓的上（或下）頂點，△MND的面積最大，且為ab=2，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）由于直線的斜率為k=$\frac{1}{2}$，可設(shè)直線l：y=$\frac{1}{2}$x+m，代入橢圓方程，消去y，運用韋達定理和判別式大于0，再由弦長公式和點到直線的距離公式，結(jié)合基本不等式，可得三角形的面積的最大值，即可得到所求直線的方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得c=$\sqrt{3}$，即a²-b²=3，
當D為橢圓的上（或下）頂點，△MND的面積最大，
且為ab=2，
解得a=2，b=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）由于直線的斜率為k=$\frac{1}{2}$，可設(shè)直線l：y=$\frac{1}{2}$x+m，
代入橢圓方程可得，x²+2mx+2m²-2=0，
則x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-2，
由判別式△=（-2m）²-4（2m²-2）＞0，解得m²＜2，
由|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}$•$\sqrt{2-{m}^{2}}$，
O到直線AB的距離為d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2|m|}{\sqrt{5}}$，
即有S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=|m|•$\sqrt{2-{m}^{2}}$≤$\frac{{m}^{2}+（2-{m}^{2}）}{2}$=1，
當且僅當|m|=$\sqrt{2-{m}^{2}}$，即為m=±1取得等號．
則△OAB的面積的最大值為1，此時直線l的方程為y=$\frac{1}{2}$x+1，或y=$\frac{1}{2}$x-1．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，同時考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，考查基本不等式的運用：求最值，屬于中檔題．