Question

3．己知函數f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-a{x}^{2}-3ax+b$，實數a＞0，b＞0．若函數f（x）在x=0處的切線斜率為-3，
（1）試確定a的值；
（2）若b=0，求f（x）的極大值和極小值；
（3）若當x∈[b，3b]時，f（x）＞4b恒成立．求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，求得切線的斜率，由題意解方程可得a；
（2）求出導數，求出單調區(qū)間，即可得到所求的極值；
（3）由題意可得3b＜$\frac{1}{3}$x³-x²-3x在[b，3b]的最小值，對b討論，0＜b≤1時，1＜b≤3時，當b＞3時，討論單調性，可得最小值，解不等式即可得到b的范圍．

解答 解：（1）函數f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-a{x}^{2}-3ax+b$的導數為
f′（x）=x²-2ax-3a，
由題意可得f′（0）=-3，
即有-3a=-3，解得a=1；
（2）f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，f′（x）=x²-2x-3，
當x＞3或x＜-1時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當-1＜x＜3時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=3處取得極小值，且為-9，
x=-1處取得極大值，且為$\frac{5}{3}$；
（3）當x∈[b，3b]時，f（x）＞4b恒成立，即為
3b＜$\frac{1}{3}$x³-x²-3x在[b，3b]的最小值，
當3b≤3即0＜b≤1時，由（2）可得[b，3b]為減區(qū)間，
則3b＜9b³-9b²-9b，解得b＞$\frac{3+\sqrt{57}}{6}$，則b∈∅；
當b≤3＜3b，即1＜b≤3時，即有x=3取得最小值-9，
由3b＜-9，可得b＜-3，則b∈∅；
當b＞3時，[b，3b]為增區(qū)間，即有x=b取得最小值，
則3b＜$\frac{1}{3}$b³-b²-3b，解得b＞6，則有b＞6．
綜上可得b的范圍是（6，+∞）．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，考查運算能力，屬于中檔題．