Question

8．在約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{y+x≤t}\\{y+2x≤4}\end{array}\right.$下，當(dāng)2≤t≤4時，則函數(shù)z=3x+2y的最大值的范圍是[6，8]．

Answer 1

分析 先根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=3x+2y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=3x+2y過可行域內(nèi)的點時，從而得到z=3x+2y的最大值即可．

解答 解：根據(jù)約束條件畫出可行域如圖，

z=3x+2y，將z的值轉(zhuǎn)化為直線z=3x+2y在y軸上的截距，
當(dāng)t=2時，對應(yīng)的平面區(qū)域為三角形OAC，
當(dāng)直線z=3x+2y經(jīng)過點A（2，0）時，z最大，最大值為6；
當(dāng)t=4時，對應(yīng)的平面區(qū)域為三角形OAE，
當(dāng)直線z=3x+2y經(jīng)過點E（0，4）時，z最大，最大值為8；
當(dāng)2＜t＜4時，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y+2x=4}\\{y+x=t}\end{array}\right.$，解得B（4-t，2t-4），
對應(yīng)的平面區(qū)域為四邊形形OABD，
當(dāng)直線z=3x+2y經(jīng)過點B（4-t，2t-4）時，z最大，最大值為4+t∈（6，8）．
故當(dāng)2≤t≤4時，目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y的最大值的變化范圍是[6，8]．
故答案為：[6，8]．

點評 本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．