Question

16．已知拋物線C₁：y²=2px（p＞0）的焦點為F，圓C₂：x²+y²=4，若C₁與C₂交于A，B兩點，且|AB|=2$\sqrt{3}$，則拋物線C₁上的點P（m，3$\sqrt{3}$）到F的距離為（　　）

• A． $\frac{21}{2}$
• B． 21
• C． $\frac{39}{2}$
• D． $\frac{39}{4}$

Answer 1

分析 由拋物線和圓關于x軸對稱，可設A（a，b）（a，b＞0），B（a，-b），運用兩點的距離公式，可得b，再由圓的方程可得a，代入拋物線的方程，可得p，求得m，再由拋物線的定義，即可得到所求距離．

解答 解：由拋物線和圓關于x軸對稱，
可設A（a，b）（a，b＞0），B（a，-b），
由|AB|=2$\sqrt{3}$，可得2b=2$\sqrt{3}$，
解得b=$\sqrt{3}$，由a²+b²=4，可得a=1，
將（1，$\sqrt{3}$）代入拋物線的方程，可得3=2p，
解得p=$\frac{3}{2}$，
即有拋物線的方程為y²=3x，
準線方程為x=-$\frac{3}{4}$，
即點P（m，3$\sqrt{3}$）為（9，3$\sqrt{3}$），
P到F的距離為P到準線的距離，即有
9+$\frac{3}{4}$=$\frac{39}{4}$．
故選：D．

點評 本題考查拋物線的定義和方程的運用，同時考查圓的方程的運用，注意運用對稱性是解題的關鍵．