Question

某校高二（1）班舉行游戲中，有甲、乙兩個(gè)盒子，這兩個(gè)盒子中各裝有大小、形狀完全相同，但顏色不同的8個(gè)小球，其中甲盒子中裝有6個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙盒子中裝有7個(gè)黃球、1個(gè)黑球，現(xiàn)進(jìn)行摸球游戲，游戲規(guī)則：從甲盒子中摸一個(gè)紅球記4分，摸出一個(gè)白球記-1分；從乙盒子中摸出一個(gè)黃球記6分，摸出一個(gè)黑球記-2分．
（1）如果每次從甲盒子摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回，求連續(xù)從甲盒子中摸出3個(gè)球所得總分（3次得分的總和）不少于5分的概率；
（2）設(shè)X（單位：分）為分別從甲、乙盒子中各摸一個(gè)球所獲得的總分，求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)連續(xù)從甲盒子中摸出的3個(gè)球中，紅球有x個(gè)，則白球有3-x個(gè)，由題意知4x-（3-x）≥5，由此能求出連續(xù)從甲盒子中摸出3個(gè)球所得總分（3次得分的總和）不少于5分的概率．
（2）由題意知X可能取值分別為10，5，2，-3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）設(shè)連續(xù)從甲盒子中摸出的3個(gè)球中，
紅球有x個(gè)，則白球有3-x個(gè)，
由題意知4x-（3-x）≥5，
解得x≥

8

5

，
∵x∈N^*，且x≤3，∴x=2或x=3，
∴連續(xù)從甲盒子中摸出3個(gè)球所得總分（3次得分的總和）不少于5分的概率：
p=

C

2 3

(

3

4

)2×

1

4

+(

3

4

)3=

27

32

．
（2）由題意知X可能取值分別為10，5，2，-3，
∵每次摸球相互獨(dú)立，
∴P（X=10）=

6

8

×

7

8

=

21

32

，
P（X=5）=

2

8

×

7

8

=

7

32

，
P（X=2）=

6

8

×

1

8

=

3

32

，
P（X=-1）=

2

8

×

1

8

=

1

32

，
∴X的數(shù)學(xué)期望EX=10×

21

32

+5×

7

32

+2×

3

32

+(-3)×

1

32

=

31

4

．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型分布列的數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．