Question

13．對于函數(shù)f（x）定義域D內(nèi)的值x₀，若對于任意的x∈D，恒有f（x）≥f（x₀）（或f（x）≤f（x₀）成立，則稱x₀是函數(shù)f（x）的極值點．若函數(shù)f（x）=2sin$\frac{πx}{m}$（m＞0）在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，1）內(nèi)恰有一個極值點，則m的取值范圍為[$\frac{2}{7}$，$\frac{1}{3}$]∪[$\frac{2}{5}$，$\frac{2}{3}$）∪（1，2）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意得出即$\frac{π{x}_{0}}{m}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈z，$\frac{1}{2}＜$$\frac{（2kπ-1）m}{2}$＜1，轉(zhuǎn)化為（2k-1）m=0在（1，2）上有唯一解，列舉法求解：（2k-1）m：m，3m，5m，7m，9m，…得出相應的不等式組$①\left\{\begin{array}{l}{1＜m＜2}\\{3m≥2}\end{array}\right.$；$②\left\{\begin{array}{l}{1＜3m＜2}\\{m≤1}\\{5m≥2}\end{array}\right.$；③$\left\{\begin{array}{l}{1＜5m＜2}\\{3m≤1}\\{7m≥2}\end{array}\right.$…，分別求解即可．

解答 解：∵根據(jù)題意得出x₀使函數(shù)f（x）取得最大值，或最小值，
∴2sin$\frac{π{x}_{0}}{m}$=±2，
即$\frac{π{x}_{0}}{m}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈z，
∴x₀=$\frac{2k+1}{2}m$，k∈z，
∴列舉法求解：；（2k-1）m：m，3m，5m，7m，9m，…
判斷得出：
$①\left\{\begin{array}{l}{1＜m＜2}\\{3m≥2}\end{array}\right.$解得；1＜m＜2，
$②\left\{\begin{array}{l}{1＜3m＜2}\\{m≤1}\\{5m≥2}\end{array}\right.$解得；$\frac{2}{5}$≤m＜$\frac{2}{3}$，
③$\left\{\begin{array}{l}{1＜5m＜2}\\{3m≤1}\\{7m≥2}\end{array}\right.$解得：$\frac{2}{7}$$≤m≤\frac{1}{3}$
依此類推得出后面的都為空集
故答案為：[$\frac{2}{7}$，$\frac{1}{3}$]∪[$\frac{2}{5}$，$\frac{2}{3}$）∪（1，2）

點評 本題考查了函數(shù)的零點，三角函數(shù)性質(zhì)，等價轉(zhuǎn)化為不等式組求解，注意分類，列舉法求解，思路較簡單，關(guān)鍵是有耐心．