Question

2．利用等比數(shù)列前n項和公式證明aⁿ+a^n-1b+a^n-2b²+…+bⁿ=$\frac{{a}^{n+1}{-b}^{n+1}}{a-b}$，其中n∈N^*，a，b是不為0的常數(shù)，且a≠b．

Answer 1

分析 首先判斷數(shù)列：aⁿ，a^n-1b，a^n-2b²，…，bⁿ為首項為aⁿ，公比為$\frac{a}$≠1，項數(shù)為n+1的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的求和公式計算即可得到．

解答 證明：由于a，b是不為0的常數(shù)，且a≠b，
則數(shù)列：aⁿ，a^n-1b，a^n-2b²，…，bⁿ為首項為aⁿ，公比為$\frac{a}$≠1，項數(shù)為n+1的等比數(shù)列，
即有aⁿ+a^n-1b+a^n-2b²+…+bⁿ=$\frac{{a}^{n}（1-\frac{^{n+1}}{{a}^{n+1}}）}{1-\frac{a}}$=$\frac{{a}^{n+1}{-b}^{n+1}}{a-b}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的求和公式，注意公比是否為1，以及數(shù)列的項數(shù)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．