Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{4}，x≥0}\\{-{x}^{4}，x＜0}\end{array}\right.$，?x∈[-1，2]，使f（2x+t）≥4f（1-x）成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍t≥-$\sqrt{2}$-4．

Answer 1

分析 由已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{4}，x≥0}\\{-{x}^{4}，x＜0}\end{array}\right.$在R上為增函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得y=f（2x+t）在區(qū)間[-1，2]上為增函數(shù)，y=4f（1-x）在區(qū)間[-1，2]上為減函數(shù)，若?x∈[-1，2]，使f（2x+t）≥4f（1-x）成立，則y=f（2x+t）在區(qū)間[-1，2]上最大值M=f（4+t）與y=4f（1-x）在區(qū)間[-1，2]上最小值m=4f（-1）=-4滿足：M≥m，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{4}，x≥0}\\{-{x}^{4}，x＜0}\end{array}\right.$在R上為增函數(shù)，
故y=f（2x+t）在區(qū)間[-1，2]上為增函數(shù)，y=4f（1-x）在區(qū)間[-1，2]上為減函數(shù)，
若?x∈[-1，2]，使f（2x+t）≥4f（1-x）成立，
則y=f（2x+t）在區(qū)間[-1，2]上最大值M=f（4+t）與y=4f（1-x）在區(qū)間[-1，2]上最小值m=4f（-1）=-4滿足：M≥m，
即f（4+t）≥-4=f（-$\sqrt{2}$），
即4+t≥-$\sqrt{2}$，
故t≥-$\sqrt{2}$-4，
即實(shí)數(shù)t的取值范圍t≥-$\sqrt{2}$-4，
故答案為：t≥-$\sqrt{2}$-4

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，冪函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的簡單綜合應(yīng)用，難度中檔．