Question

2．為了保護(hù)環(huán)境，某市設(shè)立了若干個自行車自動租賃點，規(guī)定租車時間不超過一小時不收費，一小時以上不超過兩小時收費一元，兩小時以上，不超過三小時收費兩元（不足一小時，按一小時計），甲、乙兩人各租車一輛，甲、乙租車時間不超過一小時的概率為$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{4}$，一小時以上，不超過兩小時的概率為$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{2}$，且兩人租車時間都不會超過三小時（甲、乙兩人租車時間相互獨立）．
（1）求甲、乙兩人所付租車費相等的概率；
（2）設(shè)兩人租車費用之和為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）甲、乙所付費用相同，利用相互獨立與對立事件的概率計算公式即可得出；
（2）隨機(jī)變量ξ的取值可以為0，1，2，3，4，利用相互獨立與互斥事件、對立事件的概率計算公式即可得出概率、分布列，進(jìn)而得出數(shù)學(xué)期望．

解答 解：設(shè)甲、乙兩人租車時間不超過一小時分別為事件A₁，A₂
超過一小時，不超過兩小時為事件A₂，B₂
超過二小時，不超過三小時為事件A₃，B₃
∴P（A₁）=$\frac{1}{2}$，P（A₂）=$\frac{1}{4}$    P（A₃）=1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$
P（B₁）=$\frac{1}{4}$   P（B₂）=$\frac{1}{2}$    P（B₃）=1-$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$ …（2分）
（1）設(shè)兩人所付車費相等為事件C
∴P（C）=P（A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃）=P（A₁）P（B₁）+P（A₂）P（B₂）+P（A₃）P（B₃）=$\frac{5}{16}$  …（6分）
（2）∵ξ=0，1，2，3，4   …（7分）
P（ξ=0）=P（A₁B₁）=$\frac{1}{8}$
P（ξ=1）=P（A₁B₂+A₂B₁）=$\frac{5}{16}$
P（ξ=2）=P（A₁B₃+A₂B₂+A₃B₁）=$\frac{5}{16}$
P（ξ=3）=P（A₂B₃+A₃B₂）=$\frac{3}{16}$
P（ξ=4）=P（A₃B₃）=$\frac{1}{16}$
∴分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{16}$

∴Eξ=1×$\frac{5}{16}$$+2×\frac{5}{16}+3×\frac{3}{16}+4×\frac{1}{16}=\frac{7}{4}$  …（12分）

點評 本題考查了相互獨立與互斥事件及對立事件的概率計算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．