Question

15．設(shè)曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點(diǎn)（1，1）處的切線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y_n，令b_n=2y_n，b₁•b₂•…b₂₀₁₀的值為2²⁰¹⁰•2010!．

Answer 1

分析 先求出其導(dǎo)函數(shù)，把x=1代入，求出切線的斜率，進(jìn)而得到切線方程，找到切線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的表達(dá)式，即可求出結(jié)論．

解答 解：因?yàn)閥=xⁿ⁺¹，
故y′=（n+1）xⁿ，
所以x=1時(shí)，y′=n+1，
則直線方程為y-1=（n+1）（x-1），
令x=0，則y=1-（n+1）=-n，
故切線與y軸的交點(diǎn)為（ 0，-n），
即有b_n=2y_n=-2n，
則b₁•b₂•…b₂₀₁₀=（-2）×（-4）×…×（-4020）
=2²⁰¹⁰•2010!．
故答案為：2²⁰¹⁰•2010!．

點(diǎn)評(píng) 當(dāng)題目中遇到求曲線C在點(diǎn)A（m，n）的切線方程時(shí)，其處理步驟為：①判斷A點(diǎn)是否在C上②求出C對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)③求出過(guò)A點(diǎn)的切線的斜率④代入點(diǎn)斜式方程，求出直線的方程．同時(shí)考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．