Question

20．如圖，在圓心角為變量2θ（0＜2θ＜π）的扇形OAB內(nèi)作一半徑為r的內(nèi)切圓P，再在扇形內(nèi)作一個與扇形兩半徑相切并與圓P外切的小圓Q，圓P與圓Q相切于C點，圓P和圓Q與半徑OA分別切于E，D兩點．
（1）當(dāng)圓Q的半徑不低于$\frac{OA}{9}$時，求θ的最大值；
（2）設(shè)BH為點B到半徑OA的距離，當(dāng)$\frac{BH}{PE}$取得最大值時，扇形被稱之為“最理想扇形”．求“最理想扇形”的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意得OA=$\frac{1+sinθ}{sinθ}$，QD=$\frac{1-sinθ}{1+sinθ}$r，由QD≥$\frac{OA}{9}$可得sinθ的不等式，解不等式解正弦函數(shù)的單調(diào)性可得；
（2）可得$\frac{BH}{PE}$=2cosθ（1+sinθ），設(shè)f（θ）=cosθ（1+sinθ），θ∈（0，$\frac{π}{2}$），由導(dǎo)數(shù)法可得函數(shù)的最值，可得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意得OP=$\frac{PE}{sinθ}$=$\frac{r}{sinθ}$，
又OP+PE=OA，∴$\frac{r}{sinθ}$+r=OA，∴OA=$\frac{1+sinθ}{sinθ}$r，
又OQ=$\frac{QD}{sinθ}$且OP=OQ+CQ+PC，∴$\frac{r}{sinθ}$=$\frac{QD}{sinθ}$+QD+r，
∴QD=$\frac{1-sinθ}{1+sinθ}$r
則當(dāng)圓Q的半徑不小于$\frac{OA}{9}$，即QD≥$\frac{OA}{9}$也即$\frac{1-sinθ}{1+sinθ}$r≥$\frac{1+sinθ}{9sinθ}$r，
整理得10sin²θ-7sinθ+1≤0，即$\frac{1}{5}$≤sinθ≤$\frac{1}{2}$，
又θ∈（0，$\frac{π}{2}$），y=sinθ在θ∈（0，$\frac{π}{2}$）單調(diào)增，
故θ的最大值為$\frac{π}{6}$；
（2）∵BH=OBsin2θ=sin2θ×$\frac{1+sinθ}{sinθ}$r=2cosθ（1+sinθ）r，
∴$\frac{BH}{PE}$=2cosθ（1+sinθ），設(shè)f（θ）=cosθ（1+sinθ），θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
則f′（θ）=-sinθ（1+sinθ）+cos²θ=-2sin²θ-sinθ+1
令f′（θ）＞0可解得-1＜sinθ＜$\frac{1}{2}$，可得θ∈（0，$\frac{π}{6}$），
同理令f′（θ）＜0可得θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），
則當(dāng)θ∈（0，$\frac{π}{6}$）時，f（θ）為增函數(shù)，當(dāng)θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）時，f（θ）為減函數(shù)，
∴當(dāng)θ=$\frac{π}{6}$時，$\frac{BH}{PE}$取得最大值，此時OA=$\frac{1+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$r=3r，
故“最理想扇形”的面積為$\frac{1}{2}×\frac{π}{6}×O{A}^{2}$=$\frac{π}{12}×（3r）^{2}$=$\frac{3}{4}π{r}^{2}$

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)和三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及新定義和導(dǎo)數(shù)法判函數(shù)的單調(diào)性，屬難題．