Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=n•kⁿ（n∈N^*，0＜k＜1）給出下列命題：
①當k=$\frac{1}{2}$時，數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列
②當$\frac{1}{2}$＜k＜1時，數(shù)列{a_n}不一定有最大項
③當0＜k＜$\frac{1}{2}$時，數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列
④當$\frac{k}{1-k}$為正整數(shù)時，數(shù)列{a_n}必有兩項相等的最大項
其中真命題的個數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①由于$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$取出反例說明結(jié)論錯誤
②由于$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$，再根據(jù)k的條件討論即可得出．$\frac{n+1}{n}$一定有最大項，則說明②一定有最大項
③由$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$$＜\frac{n+1}{2n}$≤1，得出結(jié)論成立
④當$\frac{k}{1-k}$為正整數(shù)時，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$=1，得出結(jié)論正確．

解答 解：①當k=$\frac{1}{2}$時，${a}_{n}=n（\frac{1}{2}）^{n}$，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）（\frac{1}{2}）^{n+1}}{n（\frac{1}{2}）^{n}}$=$\frac{n+1}{2n}$，當n=1時，a₁=a₂，因此數(shù)列{a_n}不是遞減數(shù)列，故①不正確；
②當$\frac{1}{2}$＜k＜1時，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$=k+$\frac{k}{n}$，當n＞$\frac{1-k}{k}$時，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＜1，所以數(shù)列{a_n}一定有最大項．②不正確．
③當0＜k＜$\frac{1}{2}$時，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$$＜\frac{n+1}{2n}$≤1，∴a_n+1＜a_n．
因此數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列，③正確．
④當$\frac{k}{1-k}$為正整數(shù)時，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$=1，因此數(shù)列{a_n}必有兩項相等的最大項，故④正確．
故選：C

點評 本題考查了數(shù)列的單調(diào)性、分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．