Question

10．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，直線x=4與x軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且|QF|=$\frac{5}{4}$|PQ|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)A（-a，a）（a＞0）在拋物線C上，是否存在直線l：y=kx+4與C交于點(diǎn)M，N，使得△MAN是以MN為斜邊的直角三角形？若存在，求出直線l的方程；若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （I）設(shè)Q（4，y₀），代入x²=2py，結(jié)合|QF|=$\frac{5}{4}$|PQ|．求出p，即可求解C的方程．
（II）求出A（-4，4），假設(shè)存在滿足條件的直線l，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理以及判別式，通過三角形是直角三角形，數(shù)量積為0求解k即可．

解答 解：（I）設(shè)Q（4，y₀），代入x²=2py，
得${y_0}=\frac{8}{p}\;，\;∴|{PQ}|=\frac{8}{p}\;，\;|{QF}|=\frac{p}{2}+{y_0}=\frac{p}{2}+\frac{8}{p}$．
由題設(shè)得$\frac{p}{2}+\frac{8}{p}=\frac{5}{4}×\frac{8}{p}$，解得p=-2（舍去）或p=2，
∴C的方程為x²=4y…（4分）
（II）由x²=4y知，點(diǎn)A（-4，4），假設(shè)存在滿足條件的直線l，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=4y\\ y=kx+4\end{array}\right.$得x²-4kx-16=0，
△=16（k²+4）＞0，
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-16…（6分）
由題意得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=（{x_1}+4，{y_1}-4）（{x_2}+4，{y_2}-4）=（{x_1}+4）（{x_2}+4）+{k^2}{x_1}{x_2}$=（1+k²）x₁x₂+4（x₁+x₂）+16=0，…（10分）
代入x₁+x₂=4k，x₁x₂=-16得-（1+k²）+k+1=0，
解得k=0（舍）或k=1…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．