Question

9．已知函數(shù)f（x）=-2x³+3x²+12x-11，g（x）=kx+9，如果f（x）≤g（x）在[-2，+∞）上恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 如果f（x）≤g（x）在[-2，+∞）上恒成立，則對x的取值進行分類討論，利用孤立參數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)法，可各各種情況下k的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：若f（x）≤g（x）恒成立，
則-2x³+3x²+12x-11≤kx+9恒成立，
當(dāng)x=0時，-11≤9恒成立，k∈R；
當(dāng)-2≤x＜0時，有k≤-2x²+3x+12-$\frac{20}{x}$，
設(shè)h（x）=-2x²+3x+12-$\frac{20}{x}$=-2$（x-\frac{3}{4}）^{2}$+$\frac{105}{8}$-$\frac{20}{x}$，
當(dāng)-2≤x＜0時，y=-2$（x-\frac{3}{4}）^{2}$+$\frac{105}{8}$為增函數(shù)，y=-$\frac{20}{x}$也為增函數(shù)，
故h（x）為增函數(shù)，
∴h（x）≥h（-2）=8，
即k≤8
當(dāng)x＞0時，令f′（x）=-6x²+6x+12=0，解得x=-1，x=2，
當(dāng)x∈（0，2）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（2，+∞）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
故當(dāng)x=2時，函數(shù)取最大值9，∈∞
若f（x）≤g（x）恒成立，
則k≥0，
綜上所述，0≤k≤8，
即滿足f（x）≤g（x）恒成立的k的取值范圍為[0，8]

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的最值及其幾何意義，函數(shù)恒成立問題，難度較大，分類比較復(fù)雜，屬于難題．