Question

11．已知數(shù)列{a_n}，a₁=$\frac{1}{2}$，且滿足2a_n+1=1-$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=a_na_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過2a_n+1=1-$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，可得2a_n+1a_n=a_n-a_n+1，進(jìn)而有2=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$；
（2）通過（1）知a_n=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n}$，分離分母可得b_n=$\frac{1}{4}$•（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并項(xiàng)相加即可．

解答 （1）證明：∵2a_n+1=1-$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，∴2a_n+1a_n=a_n-a_n+1，
兩邊同除以a_n+1a_n得：2=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
又a₁=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=2，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項(xiàng)和公差均為2的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）知$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n，∴a_n=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n}$，
∴b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$•（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{4}$•（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{4}$•（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{4}$•$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推公式，對(duì)表達(dá)式的靈活變形、分離分母、并項(xiàng)相加是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．