Question

10．已知函數(shù)y=x³+3ax²-9x+1，x∈[-5，5]．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)的極值．
（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）將a=-1代入函數(shù)的解析式，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；
（2）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論x的范圍，分離出關(guān)于a的不等式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性從而求出a的范圍．

解答 解：（1）a=-1時(shí)，y=x³-3x²-9x+1，x∈[-5，5]，
∴y′=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜-1，令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜3，
∴函數(shù)在[-5，-1），（3，5]遞增，在（-1，3）遞減，
∴y_極大值=y|_x=-1=6，y_極小值=y|_x=3=-26；
（2）若y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)減函數(shù)，
則f′（x）=3x²+6ax-9≤0在[-5，5]上恒成立，
①x=0時(shí)，-9≤0，成立，
②-5≤x＜0時(shí)，a≥-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2x}$在[-5，0）上恒成立，
令g（x）=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2x}$，則g′（x）=-$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{{2x}^{2}}$＜0，
∴g（x）在[-5，0）單調(diào)遞減，
∴g（x）_最大值=g（-5）=$\frac{11}{5}$，
∴a≥$\frac{11}{5}$；
③0＜x≤≤5時(shí)，a≤-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2x}$在（0，5]上恒成立，
由②得g（x）在（0，5]上遞減，
∴g（x）_最小值=g（5）=-$\frac{11}{5}$，
∴a≤-$\frac{11}{5}$，
故a的范圍是（-∞，-$\frac{11}{5}$]∪[$\frac{11}{5}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值問(wèn)題，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．