Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cos$\frac{ωx}{2}$，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（3cos$\frac{ωx}{2}$，sinωx），ω＞0，設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-3的部分圖象如圖所示，A為圖象的最低點(diǎn)，B，C為圖象與x軸的交點(diǎn)，且△ABC為等邊三角形，其高為2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求ω的值及函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x₀）=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，且x₀∈（-$\frac{10}{3}$，$\frac{2}{3}$ ），求f（x₀+1）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量積公式，結(jié)合二倍角公式和和差角公式，可將函數(shù)f（x）的解析式化為f（x）=2$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$），根據(jù)△ABC的邊長(zhǎng)求出周期，進(jìn)而可得ω的值，結(jié)合振幅可得函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x₀）=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，且x₀=∈（-$\frac{10}{3}$，$\frac{2}{3}$ ），代入可得（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）的兩弦值，結(jié)合和差角公式，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{a}$=（2cos$\frac{ωx}{2}$，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（3cos$\frac{ωx}{2}$，sinωx），
∴函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-3=6cos²$\frac{ωx}{2}$+$\sqrt{3}$sinωx-3=3cosωx+$\sqrt{3}$sinωx=2$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
∵△ABC為等邊三角形，其高為2$\sqrt{3}$，
∴BC=$\frac{T}{2}$=4，即T=8，
又∵ω＞0，
∴ω=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{3}$），
其值域?yàn)椋篬-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]；
（Ⅱ）若f（x₀）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，
∴sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，
∵x₀∈（-$\frac{10}{3}$，$\frac{2}{3}$ ），
∴$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$ ），
則cos（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{5}$，
∴f（x₀+1）=2$\sqrt{3}$sin[（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{4}$]=2$\sqrt{3}$[sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{4}$+cos（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{4}$]=2$\sqrt{3}$•（$\frac{4}{5}$+$\frac{3}{5}$）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{7\sqrt{6}}{5}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量的數(shù)量積公式，二倍角公式和和差角公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式，正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，難度中檔．