Question

19．求下列函數(shù)的導數(shù)．
（1）y=sin⁴$\frac{x}{4}$+cos⁴$\frac{x}{4}$；
（2）y=（$\sqrt{x}$+1）（$\frac{1}{\sqrt{x}}$-1）；
（3）y=-sin$\frac{x}{2}$（1-2cos²$\frac{x}{4}$）．

Answer 1

分析 將各函數(shù)進行化簡，然后求導．

解答 解：（1）y=sin⁴$\frac{x}{4}$+cos⁴$\frac{x}{4}$=（sin²$\frac{x}{4}$+cos²$\frac{x}{4}$）²-2sin²$\frac{x}{4}$cos²$\frac{x}{4}$=1-$\frac{1}{2}$sin²$\frac{x}{2}$=$\frac{1}{4}$（1-2sin²$\frac{x}{2}$）+$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$cosx+$\frac{3}{4}$，
∴y′=-$\frac{1}{4}$sinx．
（2）y=（$\sqrt{x}$+1）（$\frac{1}{\sqrt{x}}$-1）=1-$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$-1=-$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$=-x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$，
∴y′=-$\frac{1}{2}$x${\;}^{-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$x${\;}^{-\frac{3}{2}}$．
（3）y=-sin$\frac{x}{2}$（1-2cos²$\frac{x}{4}$）=-sin$\frac{x}{2}$（1-（1+cos$\frac{x}{2}$））=-sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$=-$\frac{1}{2}$sinx，
∴y′=-$\frac{1}{2}$cosx．

點評 本題考查了函數(shù)的導數(shù)運算，先化簡函數(shù)解析式能簡化計算．