【題目】給定橢圓C:(
),稱(chēng)圓心在原點(diǎn)O,半徑為
的圓是橢圓C的“衛(wèi)星圓”.若橢圓C的離心率
,點(diǎn)
在C上.
(1)求橢圓C的方程和其“衛(wèi)星圓”方程;
(2)點(diǎn)P是橢圓C的“衛(wèi)星圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn),
使得
,與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn),且
,
分別交其“衛(wèi)星圓”于點(diǎn)M,N,證明:弦長(zhǎng)
為定值.
【答案】(1),
;(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】
(1)根據(jù)題意列出再結(jié)合
即可解出
,
,從而得到橢圓C的方程和其“衛(wèi)星圓”方程;
(2) 根據(jù)分類(lèi)討論,當(dāng)有一條直線(xiàn)斜率不存在時(shí)(不妨假設(shè)
無(wú)斜率),可知其方程為
或
,這樣可求出
;當(dāng)兩條直線(xiàn)的斜率都存在時(shí),設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)
與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)為
,與橢圓方程聯(lián)立,由
可得
,所以線(xiàn)段
應(yīng)為“衛(wèi)星圓”的直徑,即
,故得證.
(1)由條件可得:
解得,
所以橢圓的方程為,
衛(wèi)星圓的方程為
(2)①當(dāng),
中有一條無(wú)斜率時(shí),不妨設(shè)
無(wú)斜率,
因?yàn)?/span>與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),則其方程為
或
,
當(dāng)方程為
時(shí),此時(shí)
與“衛(wèi)星圓”交于點(diǎn)
和
,
此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)是
或
,即
為
或
,
∴
∴線(xiàn)段應(yīng)為“衛(wèi)星圓”的直徑,
∴
②當(dāng),
都有斜率時(shí),設(shè)點(diǎn)
,其中
,
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)為
,
則,
消去y得到,
∴
∴
所以,滿(mǎn)足條件的兩直線(xiàn)
,
垂直.
∴線(xiàn)段應(yīng)為“衛(wèi)星圓”的直徑,∴
綜合①②知:因?yàn)?/span>,
經(jīng)過(guò)點(diǎn)
,又分別交“衛(wèi)星圓”于點(diǎn)
,且
,
垂直,所以線(xiàn)段
是“衛(wèi)星圓”
的直徑,∴
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)的圖象為C,如下結(jié)論中正確的是( )
①圖象C關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng);②函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)是增函數(shù);
③圖象C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng);④由
的圖象向右平移
個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象C
A.①③B.②③C.①②③D.①②
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了保障人民群眾的身體健康,在預(yù)防新型冠狀病毒期間,貴陽(yáng)市市場(chǎng)監(jiān)督管理局加強(qiáng)了對(duì)市場(chǎng)的監(jiān)管力度,對(duì)生產(chǎn)口罩的某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的個(gè)口罩進(jìn)行抽樣測(cè)試是否合格,先將
個(gè)口罩進(jìn)行編號(hào),編號(hào)分別為
;從中抽取
個(gè)樣本,如下提供隨機(jī)數(shù)表的第
行到第
行:
若從表中第行第
列開(kāi)始向右依次讀取
個(gè)數(shù)據(jù),則得到的第
個(gè)樣本編號(hào)為( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)三角形的邊長(zhǎng)為不相等的整數(shù),且最大邊長(zhǎng)為n,這些三角形的個(gè)數(shù)為an.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)在1,2,…,100中任取三個(gè)不同的整數(shù),求它們可以是一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)的概率.
附:1+22+32+…+n2;1+23+33+…+n3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,頂點(diǎn)
在底面
上的射影
在棱
上,
,
,
,
為
的中點(diǎn)。
(Ⅰ)求證:
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)已知是平面
內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)
為
中點(diǎn),且
平面
,求線(xiàn)段
的長(zhǎng)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
為常數(shù),且
.
(1)若是奇函數(shù),求
的取值集合
;
(2)當(dāng)時(shí),設(shè)
的反函數(shù)
,且
的圖象與
的圖象關(guān)于
對(duì)稱(chēng),求
的取值集合
;
(3)對(duì)于問(wèn)題(1)(2)中的、
,當(dāng)
時(shí),不等式
恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2017·江蘇高考)如圖,在三棱錐ABCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點(diǎn)E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求證:(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
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