Question

10．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}，x∈[0，\frac{1}{2}]}\\{\frac{2{x}^{2}}{x+2}，x∈（\frac{1}{2}，1]}\end{array}\right.$，g（x）=asin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{3}{2}$π）-2a+2（a＞0），給出下列結論：
①函數f（x）的值域為[0，$\frac{2}{3}$]；
②函數g（x）在[0，1]上是增函數；
③對任意a＞0，方程f（x）=g（x）在區(qū)間[0，1]內恒有解；
④若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數a的取值范圍是$\frac{4}{9}$≤a≤$\frac{4}{5}$，
其中所有正確結論的序號為①②④．

Answer 1

分析 ①分段求函數的值域，從而確定分段函數的值域，
②由三角函數的性質可判斷函數g（x）在[0，1]上是增函數；
③g（x）∈[-3a+2，2-a]，f（x）∈[0，$\frac{2}{3}$]，從而判斷；
④可判斷若不存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立時，-3a+2＞$\frac{2}{3}$或2-$\frac{5}{2}$a＜0，從而解得．

解答 解：∵0≤x≤$\frac{1}{2}$，
∴0≤-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
$\frac{2{x}^{2}}{x+2}$=2（x+2）+$\frac{8}{x+2}$-8，
∵$\frac{1}{2}$＜x≤1，
∴$\frac{5}{2}$＜x+2≤3，
∴$\frac{1}{5}$＜2（x+2）+$\frac{8}{x+2}$-8≤$\frac{2}{3}$，
∴函數f（x）的值域為[0，$\frac{2}{3}$]，故①正確；
∵x∈[0，1]，∴$\frac{π}{3}$x+$\frac{3}{2}$π∈[$\frac{3}{2}$π，$\frac{3}{2}$π+$\frac{π}{3}$]，
∴函數g（x）在[0，1]上是增函數，故②正確；
∵g（x）=asin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{3}{2}$π）-2a+2∈[-3a+2，2-a]，
而函數f（x）的值域為[0，$\frac{2}{3}$]，
∴當2-a＜0，即a＞2時，
[-3a+2，2-a]∩[0，$\frac{2}{3}$]=∅，
故③錯誤；
∵x∈[0，1]，∴$\frac{π}{3}$x+$\frac{3}{2}$π∈[$\frac{3}{2}$π，$\frac{3}{2}$π+$\frac{π}{3}$]，
∴sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{3}{2}$π）∈[-1，-$\frac{1}{2}$]，
∴asin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{3}{2}$π）-2a+2∈[-3a+2，2-$\frac{5}{2}$a]，
若不存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴-3a+2＞$\frac{2}{3}$或2-$\frac{5}{2}$a＜0，
解得，a＜$\frac{4}{9}$或a＞$\frac{4}{5}$；
故實數a的取值范圍是$\frac{4}{9}$≤a≤$\frac{4}{5}$，
故正確；
故答案為：①②④．

點評 本題考查了分段函數的應用及分類討論的思想應用，同時考查了函數的化簡與應用．