Question

15．如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=16，BC=10，AA₁=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A₁B₁，D₁C₁上，A₁E=D₁F=4，點(diǎn)H，G分別在AB，CD上，AH=DG=10．
（1）證明四邊形EFGH為正方形；
（2）求平面EFGH把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值．

Answer 1

分析 （1）利用平行公理證出平行四邊形，根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算得出鄰邊相等，根據(jù)線面垂直得出鄰邊垂直；
（2）兩部分都是側(cè)放的直棱柱且高相等，故體積比為底面積的比．

解答 證明：（1）∵A₁E=D₁F，A₁E∥D₁F，
∴四邊形A₁EFD₁是平行四邊形，∴EF∥A₁D₁，EF=A₁D₁，
同理，HG∥AD，HG=AD，∴EF∥HG，EF=HG．
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
過點(diǎn)E作EM⊥AB，垂足為M，則EM=AA₁=8，AM=A₁E=4，
∴MH=AH-AM=6，EH=$\sqrt{E{M}^{2}+M{H}^{2}}$=10，∴EF=EH，
∴四邊形EFGH是菱形．
∵A₁D₁⊥平面ABB₁A₁，EF∥A₁D₁，
∴EF⊥平面ABB₁A₁，∵EH?平面ABB₁A₁，
∴EF⊥EH，∴四邊形EFGH是正方形．
（2）EB₁=A₁B₁-A₁E=12，HB=AB-AH=6，
S${\;}_{梯形AHE{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$（A₁E+AH）•AA₁=7AA₁，S${\;}_{梯形HB{B}_{1}E}$=$\frac{1}{2}$（HB+B₁E）•AA₁=9AA₁，
∴$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{7}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的性質(zhì)和幾何體的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．