Question

3．已知函數(shù)f（x）=e^x-x-1，x∈R，其中，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．函數(shù)g（x）=xsinx+cosx+1，x＞0．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）將g（x）的全部零點(diǎn)按照從小到大的順序排成數(shù)列{a_n}，求證：
（1）$\frac{（2n-1）π}{2}$＜a_n＜$\frac{（2n+1）π}{2}$，其中n∈N^*；
（2）ln（1+$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$）+ln（1+$\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}$）+ln（1+$\frac{1}{{{a}_{3}}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$）＜$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）（1）先求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，令g′（x）=0，求出x的值，得到g（$\frac{2n-1}{2}$π）•g（$\frac{2n+1}{2}$π）＜0，從而證出結(jié)論；
（2）由e^x＞x+1，得到ln（1+$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$）+ln（1+$\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$）＜$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}$+…+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$，再根據(jù)（1）知$\frac{（2n-1）π}{2}$＜a_n＜$\frac{（2n+1）π}{2}$，將不等式放大，從而證出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-x-1，∴f′（x）=e^x-1，
令f′（x）＞0，解得x＞0，令f′（x）＜0，得x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得極小值也是最小值0；
（Ⅱ）（1）g′（x）=xcosx，（x＞0），
令g′（x）=0，由于x＞0，∴cosx=0，∴x=$\frac{（2n-1）π}{2}$，n∈N^*，
∴g（$\frac{2n-1}{2}$π）=$\frac{（2n-1）π}{2}$sin$\frac{（2n-1）π}{2}$+1，
g（$\frac{2n-1}{2}$π）=$\frac{（2n+1）π}{2}$sin$\frac{（2n+1）π}{2}$+1，n∈N^*，
∴g（$\frac{2n-1}{2}$π）•g（$\frac{2n+1}{2}$π）＜0，
∴g（x）的零點(diǎn)a_n有$\frac{（2n-1）π}{2}$＜a_n＜$\frac{（2n+1）π}{2}$，其中n∈N^*；
（2）由（Ⅰ）知：f（x）＞f（0），當(dāng)x＞0時(shí)，
即e^x-x-1＞0，∴e^x＞x+1，
∴l(xiāng)n（1+$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$）+ln（1+$\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$）＜$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}$+…+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$，
由（1）知$\frac{（2n-1）π}{2}$＜a_n＜$\frac{（2n+1）π}{2}$，
∴$\frac{4}{{{（2n+1）}^{2}π}^{2}}$＜$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$＜$\frac{4}{{{（2n-1）}^{2}π}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}$+…+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$＜$\frac{4}{{n}^{2}}$（1+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{（2n-1）}^{2}}$）＜$\frac{4}{{π}^{2}}$×$\frac{{π}^{2}}{6}$=$\frac{2}{3}$，
∴（1+$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$）+ln（1+$\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}$）+ln（1+$\frac{1}{{{a}_{3}}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$）＜$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理，考查不等式的證明，本題有一定的難度．