Question

【題目】（本小題滿分16分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足:,且數(shù)列的前

n項(xiàng)和為.

(1) 求的值；

(2) 求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

(3) 抽去數(shù)列中的第1項(xiàng)，第4項(xiàng)，第7項(xiàng)，……，第3n-2項(xiàng)，……余下的項(xiàng)順序不變，組成一個(gè)新數(shù)列，若的前n項(xiàng)和為，求證：.

Answer 1

【答案】解:(1)由題意得:;………………1分

當(dāng)n=1時(shí),則有:解得:;

當(dāng)n=2時(shí),則有:,即,解得:;

………………2分

(2)由①得:

② ………………3分

② - ①得:,

即:即:; ……………5分

,由知:

數(shù)列是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.…………………………………8分

(3)由(2)知:,即……………………9分

當(dāng)n≥2時(shí),對(duì)n=1也成立,

即(n………………………………………………………….…10分

數(shù)列為,它的奇數(shù)項(xiàng)組成以4為首項(xiàng)、公比為8的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)組成以8為首項(xiàng)、公比為8的等比數(shù)列；…………………11分

當(dāng)n="2k-1"時(shí),

…………………14分

當(dāng)n="2k"時(shí),

.……………………………………………………………16分

【解析】

(1)給n取值求出的值.(2)由題得數(shù)列是等比數(shù)列.(3)證明當(dāng)n=2k-1 時(shí),. 當(dāng)n=2k 時(shí),,綜合即得.

(1)由題意得: ;

當(dāng)n=1時(shí),則有: 解得: ;

當(dāng)n=2時(shí),則有: ,即,解得: ;

。

(2) 由 ① 得:

②

② - ①得: ,

即: 即:;

,由知:

數(shù)列是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.

(3)由(2)知: ,即，

當(dāng)n≥2時(shí), 對(duì)n=1也成立,

即(n，

∴數(shù)列為,它的奇數(shù)項(xiàng)組成以4為首項(xiàng)、公比為8的等比數(shù)列；

偶數(shù)項(xiàng)組成以8為首項(xiàng)、公比為8的等比數(shù)列；

∴當(dāng)n=2k-1 時(shí),

，

∴當(dāng)n=2k 時(shí),

，

，

.

.