Question

17．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁為矩形，AB=2，AA₁=2$\sqrt{2}$，D是AA₁的中點(diǎn)，BD與AB₁交于點(diǎn)O，且CO⊥平面ABB₁A₁．
（1）證明：CD⊥AB₁；
（2）若OC=OA，求直線CD與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△DAB∽△ABB得出BD⊥AB₁．根據(jù)CO⊥平面ABB₁A₁得出CO⊥AB₁，于是AB₁⊥平面BCD，從而得出CD⊥AB₁；
（2）根據(jù)三角形相似計(jì)算OA，OB，OC，OD，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{CD}$及平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$，計(jì)算|cos＜$\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{n}$＞|即可．

解答 （1）證明：∵D是矩形AA₁的中點(diǎn)，∴AD=$\frac{1}{2}$AA₁=$\sqrt{2}$
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{B{B}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴△DAB∽△ABB₁，∴∠ABD=∠AB₁B，
∵∠BAB₁+∠AB₁B=90°，∴∠BAB₁+∠ABD=90°，∴BD⊥AB₁．
∵CO⊥平面ABB₁A₁，AB₁?平面ABB₁A₁，
∴CO⊥AB₁，又CO?平面BCD，BD?平面BCD，CO∩BD=O，
∴AB₁⊥平面BCD，∵CD?平面BCD，
∴CD⊥AB₁．
（2）解：以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)D，OB₁，OC為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：
則A（0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），B（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，0，0），C（0，0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），D（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，0，0）．
∴$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），$\overrightarrow{AC}$=（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
設(shè)平面ABC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{6}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}y=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{3}y+\frac{\sqrt{3}}{3}z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}$=$\sqrt{6}$，∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴直線CD與平面ABC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，空間向量的應(yīng)用與線面角的計(jì)算，屬于中檔題．