Question

5．設(shè)f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，已知x²f′（x）+xf（x）=lnx，f（1）=$\frac{1}{2}$，則下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． f（x）在（0，+∞）上有極大值$\frac{1}{2}$
• B． f（x）在（0，+∞）上有極小值$\frac{1}{2}$
• C． f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增
• D． f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減

Answer 1

分析 由題意知[xf（x）]′=$\frac{lnx}{x}$，從而由積分可知xf（x）=$\frac{1}{2}$（lnx）²+c，從而解得f（x）=$\frac{l{n}^{2}x}{2x}$+$\frac{1}{2x}$，從而再求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：∵x²f′（x）+xf（x）=lnx，
∴xf′（x）+f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴[xf（x）]′=$\frac{lnx}{x}$，
∴xf（x）=$\frac{1}{2}$（lnx）²+c，
又∵f（1）=$\frac{1}{2}$，
∴1•f（1）=$\frac{1}{2}$（ln1）²+c，
即$\frac{1}{2}$=c，
故c=$\frac{1}{2}$，則xf（x）=$\frac{1}{2}$（lnx）²+$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{l{n}^{2}x}{2x}$+$\frac{1}{2x}$，
∴f′（x）=$\frac{2lnx•\frac{1}{x}•x-（l{n}^{2}x+1）}{2{x}^{2}}$=$\frac{-（lnx-1）^{2}}{2{x}^{2}}$≤0，
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用條件結(jié)合函數(shù)的積分公式求出函數(shù)的表達(dá)式數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，不太容易想到．