Question

18．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，若f（$\frac{1}{2}$）=0，△ABC的內(nèi)角A滿足f（cosA）＜0，則A的取值范圍是（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{2π}{3}$，π）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且（$\frac{1}{2}$）=0，分析可得0＜x＜$\frac{1}{2}$時，f（x）＜0，當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時，f（x）＞0，進而結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜x＜0時，f（x）＞0，當(dāng)x＜-$\frac{1}{2}$時，f（x）＜0，綜合可得f（x）＜0的解集，又由f（cosA）＜0，可得cosA＜-$\frac{1}{2}$或0＜cosA＜$\frac{1}{2}$，解可得A的范圍，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，且（$\frac{1}{2}$）=0，
則有當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$時，f（x）＜0，當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時，f（x）＞0，
又由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則有當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜x＜0時，f（x）＞0，當(dāng)x＜-$\frac{1}{2}$時，f（x）＜0，
綜合可得當(dāng)x＜-$\frac{1}{2}$或0＜x＜$\frac{1}{2}$時，f（x）＜0，
又由△ABC的內(nèi)角A滿足f（cosA）＜0，
則有cosA＜-$\frac{1}{2}$或0＜cosA＜$\frac{1}{2}$，
解可得$\frac{π}{3}$＜A＜$\frac{π}{2}$或$\frac{2π}{3}$＜A＜π；
即A∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{2π}{3}$，π）；
故答案為：（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{2π}{3}$，π）．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，關(guān)鍵是依據(jù)題意，分析得到f（x）＜0的解集．