16．△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若（a+b）：（b+c）：（c+a）=5：6：7，求$\frac{2sinA-sinB}{sin2C}$的值．

分析 設(shè)a+b=5k，b+c=6k，c+a=7k，k＞0，解方程組可得a=3k，b=2k，c=4k，由余弦定理可得cosC，再由三角函數(shù)公式和正弦定理可得$\frac{2sinA-sinB}{sin2C}$=$\frac{2b-4a}{c}$，代值計(jì)算可得．

解答 解：∵△ABC中（a+b）：（b+c）：（c+a）=5：6：7，
∴可設(shè)a+b=5k，b+c=6k，c+a=7k，k＞0，
解方程組可得a=3k，b=2k，c=4k，
∴由余弦定理可得cosC=$\frac{（3k）^{2}+（2k）^{2}-（4k）^{2}}{2•3k•2k}$=-$\frac{1}{4}$，
∴由正弦定理可得$\frac{2sinA-sinB}{sin2C}$=$\frac{2sinA-sinB}{2sinCcosC}$
=$\frac{2a-b}{2c•（-\frac{1}{4}）}$=$\frac{2b-4a}{c}$=$\frac{4k-12k}{4k}$=-2

點(diǎn)評(píng) 本題考查正余弦定理解三角形，巧妙設(shè)置k值表示三邊是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．

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