Question

6．已知函數(shù)f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x，若關(guān)于x的方程f²（x）-af（x）=0在[0，$\frac{π}{2}$]上有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\sqrt{3}$，2）．

Answer 1

分析 利用輔助角公式將函數(shù)f（x）化簡，利用換元法作出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷求解即可．

解答 解：f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
若0≤x≤$\frac{π}{2}$，則0≤2x≤π，$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{4π}{3}$，
則設(shè)t=2x+$\frac{π}{3}$，則$\frac{π}{3}$≤t≤$\frac{4π}{3}$，
作出函數(shù)g（t）=2sint，則$\frac{π}{3}$≤t≤$\frac{4π}{3}$上的圖象如圖：
則g（$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{π}{3}$=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
g（$\frac{4π}{3}$）=2sin$\frac{4π}{3}$=2×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\sqrt{3}$，
設(shè)m=f（x）=g（t），
則當(dāng)m=2或-$\sqrt{3}$≤m≤$\sqrt{3}$時(shí)，方程m=f（x）=g（t）有一解，
當(dāng)$\sqrt{3}$＜m＜2時(shí)，方程m=f（x）=g（t）有2解，
由f²（x）-af（x）=0得f（x）（f（x）-a）=0，
則f（x）=0，或f（x）=a，
當(dāng)t=f（x）=0時(shí)，方程f（x）=0有一個(gè)解，
若方程f²（x）-af（x）=0在[0，$\frac{π}{2}$]上有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
則等價(jià)為f（x）=a有2個(gè)不同的解，
則$\sqrt{3}$＜a＜2，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\sqrt{3}$，2），
故答案為：（$\sqrt{3}$，2）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．