Question

9．已知直線x+y+1=0被圓O：x²+y²=r²（r＞0）所截得的弦長(zhǎng)為$\sqrt{2}$．
（Ⅰ） 求圓O的方程；
（Ⅱ） 如圖，圓O分別交x軸正、負(fù)半軸于點(diǎn)A，B，交y軸正半軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C的直線l交圓O于另一不同點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A，B不重合），且與x軸相交于點(diǎn)P，直線AD與BC相交于點(diǎn)Q，求$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$的值．

Answer 1

分析 （I）利用點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式即可得出；
（II）如圖，可知A（1，0），B（-1，0），C（0，1），可得BC的方程．當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，AD∥BC，舍去．因此直線l的斜率存在，設(shè)為k（k≠0），直線l的方程為y=kx+1，可得$P（-\frac{1}{k}，0）$．與圓的方程聯(lián)立解得D的坐標(biāo)，可得AD的方程，聯(lián)立解出Q的坐標(biāo)即可得出．

解答 解：（Ⅰ） 圓心O到直線x+y+1=0的距離$d=\frac{|0+0+1|}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
由${r^2}={（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}+{d^2}={（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}+{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}$，解得r=1．
∴圓O的方程為x²+y²=1．
（Ⅱ） 如圖，可知A（1，0），B（-1，0），C（0，1），
∴BC的方程為x-y+1=0．
當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，AD∥BC，與題意不符，則直線l的斜率存在，設(shè)為k（k≠0），
直線l的方程為y=kx+1，可得$P（-\frac{1}{k}，0）$．
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}+{y^2}=1\end{array}\right.$消去y，整理得（1+k²）x²+2kx=0，
解得x=0或$x=-\frac{2k}{{1+{k^2}}}$，
∴D的縱坐標(biāo)為$y=-\frac{2k}{{1+{k^2}}}•k+1=\frac{{1-{k^2}}}{{1+{k^2}}}$．
∴AD的方程為$y=\frac{{\frac{{1-{k^2}}}{{1+{k^2}}}-0}}{{-\frac{2k}{{1+{k^2}}}-1}}（x-1）$，
整理得$y=\frac{k-1}{k+1}（x-1）$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{k-1}{k+1}（x-1）\\ x-y+1=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-k\\ y=-k+1\end{array}\right.$，即Q（-k，k+1）．
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=（-k）×（-\frac{1}{k}）=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓相交問(wèn)題、直線相交問(wèn)題、點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式、斜率計(jì)算公式、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．