Question

4．?dāng)?shù)列{an}中，已知a₁=$\frac{1}{4}$，a_n+1=$\sqrt{{a}_{n}-{{a}_{n}}^{2}}$．
（1）證明：an＜a_n+1＜$\frac{1}{2}$；
（2）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，（$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$）${\;}^{{2}^{n}}$＜2．

Answer 1

分析 （1）由已知a₁=$\frac{1}{4}$，a_n+1=$\sqrt{{a}_{n}-{{a}_{n}}^{2}}$，即可得到$0＜{a}_{n+1}＜\frac{1}{2}$，又0$＜{a}_{n}＜\frac{1}{2}$，進(jìn)一步得到${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}＞0$，則結(jié)論an＜a_n+1＜$\frac{1}{2}$可證；
（2）首先證當(dāng)n=2時(shí)，$（\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}{）^{2}}^{2}＜2$成立，即當(dāng)n=k時(shí)，$（\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k}}{）^{2}}^{k}＜2$成立，當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1＞a_k，則$（\frac{1}{{a}_{k+1}}-1{）^{2}}^{k}＜（\frac{1}{{a}_{k}}-1{）^{2}}^{k-1}$=$（\sqrt{\frac{1}{{a}_{k+1}}-1}{）^{2}}^{k}＜2$，則結(jié)論當(dāng)n≥2時(shí)，（$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$）${\;}^{{2}^{n}}$＜2可證．

解答 證明：（1）由${a}_{n}-{{a}_{n}}^{2}≥0$，得${{a}_{n}}^{2}-{a}_{n}≤0$，即0≤a_n≤1．
∴a_n+1=$\sqrt{{a}_{n}-{{a}_{n}}^{2}}$=$\sqrt{-（{a}_{n}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}≤\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，
又a₁=$\frac{1}{4}$≠0，且${a}_{1}≠\frac{1}{2}$，∴0$＜{a}_{n}＜\frac{1}{2}$．
∴${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}={a}_{n}-{{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}=-2{{a}_{n}}^{2}+{a}_{n}$＞0．
即${a}_{n}＜{a}_{n+1}＜\frac{1}{2}$；
（2）當(dāng)n=2時(shí)，$（\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}{）^{2}}^{2}=（\frac{\sqrt{{a}_{2}-{{a}_{2}}^{2}}}{{a}_{2}}）^{4}=（\frac{1}{{a}_{2}}-1）^{2}$，
又∵${a}_{2}=\sqrt{{a}_{1}-{{a}_{1}}^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}-（\frac{1}{4}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴$（\frac{1}{{a}_{2}}-1）^{2}=（\frac{4\sqrt{3}-3}{3}）^{2}＜2$．
即當(dāng)n=2時(shí)，$（\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}{）^{2}}^{2}＜2$成立，
當(dāng)n=k時(shí)，$（\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k}}{）^{2}}^{k}＜2$成立，即$（\sqrt{\frac{1}{{a}_{k}}-1}{）^{2}}^{k}＜2$成立，
當(dāng)n=k+1時(shí)，$（\frac{{a}_{k+2}}{{a}_{k+1}}{）^{2}}^{k+1}=（\sqrt{\frac{1}{{a}_{k+1}}-1}{）^{2}}^{k+1}$=$（\frac{1}{{a}_{k+1}}-1{）^{2}}^{k}$．
∵a_n+1＞a_n，∴a_k+1＞a_k
∴$\frac{1}{{a}_{k+1}}-1＜\frac{1}{{a}_{k}}-1$．
則$（\frac{1}{{a}_{k+1}}-1{）^{2}}^{k}＜（\frac{1}{{a}_{k}}-1{）^{2}}^{k-1}$=$（\sqrt{\frac{1}{{a}_{k+1}}-1}{）^{2}}^{k}＜2$，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，$（\frac{{a}_{k+2}}{{a}_{k+1}}{）^{2}}^{k+1}＜2$也成立，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，$（\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}{）^{2}}^{n}＜2$成立．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論，本題的計(jì)算量大，屬于難度較大的題目．