Question

10．平面內(nèi)，點(diǎn)P在以O(shè)為頂點(diǎn)的直角內(nèi)部，A，B分別為兩直角邊上兩點(diǎn)，已知$|{\overrightarrow{OP}}|=2$，$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}=2$，$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OB}=1$，則當(dāng)|AB|最小時(shí)，sin∠AOP=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，設(shè)$＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OP}＞=θ$（0$＜θ＜\frac{π}{2}$），利用已知可得|AB|=$\frac{1}{cosθ}+\frac{1}{sinθ}=\frac{sinθ+cosθ}{sinθcosθ}$，換元后可得當(dāng)$θ=\frac{π}{4}$時(shí)，|AB|最小，則答案可求．

解答 解：如圖，

設(shè)$＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OP}＞=θ$（0$＜θ＜\frac{π}{2}$），則$＜\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{OB}＞=\frac{π}{2}-θ$，
∵$|{\overrightarrow{OP}}|=2$，$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}=2$，$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OB}=1$，
∴$2|\overrightarrow{OA}|cosθ=2，2|\overrightarrow{OB}|cos（\frac{π}{2}-θ）=2$，
則$|\overrightarrow{OA}|=\frac{1}{cosθ}，|\overrightarrow{OB}|=\frac{1}{sinθ}$，
則|AB|=$\frac{1}{cosθ}+\frac{1}{sinθ}=\frac{sinθ+cosθ}{sinθcosθ}$，
令sinθ+cosθ=t，則t=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，
∵0$＜θ＜\frac{π}{2}$，∴t∈（1，$\sqrt{2}$]．
sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴|AB|=$\frac{t}{\frac{{t}^{2}-1}{2}}=\frac{2t}{{t}^{2}-1}=\frac{2}{t-\frac{1}{t}}$，
∴當(dāng)t=$\sqrt{2}$時(shí)，|AB|有最小值，此時(shí)$θ=\frac{π}{4}$．
∴sin∠AOP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量數(shù)量積運(yùn)算，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．