Question

20．廣告公司為某游樂場(chǎng)設(shè)計(jì)某項(xiàng)設(shè)施的宣傳畫，根據(jù)該設(shè)施的外觀，設(shè)計(jì)成的平面圖由半徑為2m的扇形AOB和三角區(qū)域BCO構(gòu)成，其中C，O，A在一條直線上，∠ACB=$\frac{π}{4}$，記該設(shè)施平面圖的面積為S（x）m²，∠AOB=xrad，其中$\frac{π}{2}$＜x＜π．
（1）寫出S（x）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如何設(shè)計(jì)∠AOB，使得S（x）有最大值？

Answer 1

分析 （1）首先，求解三角形和扇形的面積，然后，求和即可得到相應(yīng)的解析式；
（2）根據(jù)三角函數(shù)輔助角公式和導(dǎo)數(shù)的計(jì)算等知識(shí)求解其最大值即可．

解答 解：（1）∵扇形AOB的半徑為2m，∠AOB=xrad，
∴S_扇形=$\frac{1}{2}$x•2²=2x，
過點(diǎn)B作邊AC的垂線，垂足為D，如圖所示：

則∠BOD=π-x，
∴BD=2sin（π-x）=2sinx，OD=2cos（π-x）=-2cosx，
∵∠ACB=$\frac{π}{4}$，
∴CD=BD=2sinx，
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$CO•BD=$\frac{1}{2}$（2sinx-2cosx）×2sinx=2sin²x-2sinxcosx=1-cos2x-sin2x，
∴S（x）=1-cos2x-sin2x+2x，
（2）根據(jù)（1），得到S（x）=1-cos2x-sin2x+2x，
∴S′（x）=2sin2x-2cos2x+2，
令S′（x）=0，
∴2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）=-2，
∴sin（2x-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$，
∴x=$\frac{3π}{4}$，
根據(jù)實(shí)際意義知，當(dāng)x=$\frac{3π}{4}$時(shí)，該函數(shù)取得最大值，
故設(shè)計(jì)∠AOB=$\frac{3π}{4}$時(shí)，此時(shí)S（x）有最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了三角形的面積公式、輔助角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．