Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=2^x-m．
（1）當(dāng)m=8時，求函數(shù)f（x）的零點．
（2）當(dāng)m=-1時，判斷g（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{f（x）}$的奇偶性并給予證明．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=0，可得函數(shù)f（x）的零點．
（2）當(dāng)m=-1時，g（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{f（x）}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，利用奇函數(shù)的定義證明即可．

解答 解：（1）當(dāng)m=8時，2^x-8=0，∴x=3，
∴函數(shù)f（x）的零點是x=3．
（2）當(dāng)m=-1時，g（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{f（x）}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$為奇函數(shù)，
證明如下：函數(shù)的定義域為R，
g（-x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{-x}+1}$=-（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$）=-g（x），
∴函數(shù)g（x）是奇函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)的零點、奇偶性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．