Question

5．已知A={（x，y）|ax+by=1}，B={（x，y）|x≥0，y≥1，x+y≤2}，若A∩B≠∅恒成立，則a²+b²+2a+3b的取值范圍是$[\frac{3}{4}，+∞）$．

Answer 1

分析 如圖所示，集合B表示的圖形如△ABC．若A∩B=∅，則$\left\{\begin{array}{l}{b-1＞0}\\{2b-1＞0}\\{a+b-1＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{b-1＜0}\\{2b-1＜0}\\{a+b-1＜0}\end{array}\right.$，作出可行域如圖．利用補(bǔ)集的思想可得：由于A∩B≠∅恒成立，則表示的點(diǎn)集為去掉虛線表示的部分，由于（a+1）²+$（b+\frac{3}{2}）^{2}$表示點(diǎn)$（-1，-\frac{3}{2}）$與上述點(diǎn)集的點(diǎn)之間的兩點(diǎn)之間的距離的平方，即可得出．．

解答 解：如圖1所示，集合B表示的圖形如△ABC．
若A∩B=∅，則$\left\{\begin{array}{l}{b-1＞0}\\{2b-1＞0}\\{a+b-1＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{b-1＜0}\\{2b-1＜0}\\{a+b-1＜0}\end{array}\right.$，．
作出可行域如圖2，
利用補(bǔ)集的思想可得：由于A∩B≠∅恒成立，則表示的點(diǎn)集為去掉虛線表示的部分，
由于（a+1）²+$（b+\frac{3}{2}）^{2}$表示點(diǎn)$（-1，-\frac{3}{2}）$與上述點(diǎn)集的點(diǎn)之間的兩點(diǎn)之間的距離的平方．
∴a²+b²+2a+3b=（a-1）²+$（b+\frac{3}{2}）^{2}$-$\frac{13}{4}$≥（1-1）²+$（\frac{1}{2}+\frac{3}{2}）^{2}$-$\frac{13}{4}$=$\frac{3}{4}$，
故答案為：$[\frac{3}{4}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解法、集合運(yùn)算性質(zhì)、線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．