Question

10．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，若F₂關(guān)于直線y=$\frac{a}$x的對(duì)稱點(diǎn)恰好在雙曲線上，則該雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{5}$-1
• B． $\sqrt{5}$+1
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設(shè)F₂（c，0）關(guān)于直線y=$\frac{a}$x的對(duì)稱點(diǎn)為M（m，n），運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，列出方程組，解方程組可得M點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，結(jié)合a²+b²=c²，由離心率公式即可得到所求值．

解答 解：設(shè)F₂（c，0）關(guān)于直線y=$\frac{a}$x的對(duì)稱點(diǎn)為M（m，n），
可得$\frac{n}{m-c}$=-$\frac{a}$，且$\frac{1}{2}$•n=$\frac{a}$•$\frac{1}{2}$（m+c），
解得m=$\frac{^{2}-{a}^{2}}{c}$，n=$\frac{2ab}{c}$，
即有M（$\frac{^{2}-{a}^{2}}{c}$，$\frac{2ab}{c}$），
代入雙曲線的方程可得$\frac{（^{2}-{a}^{2}）^{2}}{{c}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{4{a}^{2}}{{c}^{2}}$=1，
化簡(jiǎn)可得（b²+a²）（b²-3a²）=a²c²，
可得b²-3a²=a²，即b²=4a²，
即有c²=5a²，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，主要是離心率的求解和對(duì)稱問(wèn)題，注意運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件，屬中檔題．