Question

13．已知雙曲線C₁：$\frac{x^2}{3}$-$\frac{{16{y^2}}}{p^2}$=1的左焦點(diǎn)在拋物線C₂：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線上，則雙曲線C₁的離心率為（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線左焦點(diǎn)坐標(biāo)與拋物線準(zhǔn)線之間的關(guān)系建立方程條件，結(jié)合雙曲線的離心率的公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{\frac{{p}^{2}}{16}}$=1，
則a²=3，b²=$\frac{{p}^{2}}{16}$，c²=3+$\frac{{p}^{2}}{16}$，
雙曲線的左焦點(diǎn)F（-c，0），
拋物線的準(zhǔn)線為x=-$\frac{p}{2}$，
∵雙曲線C₁的左焦點(diǎn)在拋物線C₂的準(zhǔn)線上，
∴-$\frac{p}{2}$=-c，即$\frac{p}{2}$=c，
則c²=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
即3+$\frac{{p}^{2}}{16}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
即$\frac{3{p}^{2}}{16}$=3，
則$\frac{{p}^{2}}{16}$=1，
則p=4，
即a²=3，c²=3+$\frac{{p}^{2}}{16}$=3+1=4，
則a=$\sqrt{3}$，c=2，
即離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)條件求出雙曲線的左焦點(diǎn)以及拋物線的準(zhǔn)線方程，求出p的值是解決本題的關(guān)鍵．