Question

3．已知數(shù)列{b_n}滿足b₁=$\frac{3}{10}$，b_n+1=1-$\frac{1}{4_{n}}$（n∈N^*），設(shè)a_n=$\frac{2}{1-2_{n}}$
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）數(shù)列{a${\;}_{{c}_{n}}$}為等比數(shù)列，且c₁=5，c₂=8，若對任意的n∈N^*都有k（2c_n-7）＜a_n成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過b₁=$\frac{3}{10}$、b_n+1=1-$\frac{1}{4_{n}}$（n∈N^*）、a_n=$\frac{2}{1-2_{n}}$，計算a_n+1-a_n即可；
（2）通過b₁=$\frac{3}{10}$、a_n=$\frac{2}{1-2_{n}}$可得a₁=5，利用（1）可得a_n=7-2n，通過c₁=5、c₂=8可得${a}_{{c}_{n}}$=-3ⁿ，進(jìn)而有c_n=$\frac{{3}^{n}+7}{2}$，考查d_n=$\frac{7-2n}{{3}^{n}}$的最小值即可．

解答 （1）證明：∵b₁=$\frac{3}{10}$，b_n+1=1-$\frac{1}{4_{n}}$（n∈N^*），a_n=$\frac{2}{1-2_{n}}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{2}{1-2_{n+1}}$-$\frac{2}{1-2_{n}}$
=$\frac{2}{1-2（1-\frac{1}{4_{n}}）}$-$\frac{2}{1-2_{n}}$
=2•$\frac{1}{-1+\frac{1}{2_{n}}}$-$\frac{2}{1-2_{n}}$
=$\frac{4_{n}}{1-2_{n}}$-$\frac{2}{1-2_{n}}$
=-2，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）解：∵b₁=$\frac{3}{10}$，a_n=$\frac{2}{1-2_{n}}$，
∴a₁=$\frac{2}{1-2_{1}}$=$\frac{2}{1-2×\frac{3}{10}}$=5，
又∵數(shù)列{a_n}是公差為-2的等差數(shù)列，
∴a_n=a₁+（n-1）d=5+（n-1）（-2）=7-2n，
∵數(shù)列{${a}_{{c}_{n}}$}為等比數(shù)列，且c₁=5，c₂=8，
∴數(shù)列{${a}_{{c}_{n}}$}的公比q=$\frac{{a}_{8}}{{a}_{5}}$=$\frac{7-2×8}{7-2×5}$=3，
又∵首項${a}_{{c}_{1}}$=a₅=-3，
∴${a}_{{c}_{n}}$=（-3）•3^n-1=-3ⁿ，
同時又a_n=7-2n，
∴-3ⁿ=7-2c_n，即c_n=$\frac{{3}^{n}+7}{2}$，
由題對任意的n∈N^*都有k（2c_n-7）＜a_n成立，
即對任意的n∈N^*都有k＜$\frac{7-2n}{{3}^{n}}$成立，
令d_n=$\frac{7-2n}{{3}^{n}}$，則d_n-d_n-1=$\frac{7-2n}{{3}^{n}}$-$\frac{7-2（n-1）}{{3}^{n-1}}$=$\frac{4n-20}{{3}^{n}}$，
顯然當(dāng)n＜4時d_n＜d_n-1；當(dāng)n＞5時d_n＞d_n-1；
∴當(dāng)n=4或n=5時，（d_n）_min=d₄=d₅=-$\frac{1}{81}$，
∴實數(shù)k的取值范圍為：k＜-$\frac{1}{81}$．

點(diǎn)評 本題考查判斷數(shù)列為等差數(shù)列，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．