Question

7．在平面直角坐標系xoy中，A、B、C是圓x²+y²=1上相異三點，若存在正實數(shù)λ，μ，使得$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，則λ²+（μ-3）²的取值范圍是（　�。�

• A． [0，+∞）
• B． （2，+∞）
• C． [2，+∞）
• D． （8，+∞）

Answer 1

分析 因為A，B，C互異，所以-1＜$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$＜1，由$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，得${λ}^{2}=1+{μ}^{2}-2μ\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$，則f（μ）=λ²+（μ-3）²=$1+{μ}^{2}-2μ\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+{（μ-3）}^{2}$=$2{μ}^{2}-6μ-2μ\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+10$，由此能得到λ²+（μ-3）²的取值范圍．

解答 解：因為A，B，C，互異，所以-1＜$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$＜1，
由$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，得${λ}^{2}=1+{μ}^{2}-2μ\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$，
則f（μ）=λ²+（μ-3）²=$1+{μ}^{2}-2μ\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+{（μ-3）}^{2}$=$2{μ}^{2}-6μ-2μ\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+10$＞2μ²-8μ+10≥2．
f（μ）=$2{μ}^{2}-6μ-2μ\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+10$＜2μ²-4μ+10，無最大值，
∴λ²+（μ-3）²的取值范圍是（2，+∞）．
故選：B．

點評 本題考查圓的性質(zhì)和應用以及向量基本定理的應用，綜合性較強，有一定的難度．