【題目】如圖,在三棱柱中, 的中點(diǎn), , .

(1)求證: 平面

(2)當(dāng)時(shí),求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】試題分析】(1)依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用直線與平面平行的判定定理進(jìn)行分析推證;(2)依據(jù)題設(shè)條件建立空間直角坐標(biāo)系,借助向量的有關(guān)知識與數(shù)量積公式分析求解:

(1)證明:

連結(jié)相交于點(diǎn),連結(jié).

為中點(diǎn),∴

又∵平面平面,

平面.

(2)∵,

,∴,

又∵平面平面

平面,

∴平面平面.

如圖,過在平面內(nèi)作,垂足為

∵平面平面,平面平面,

平面

以點(diǎn)為原點(diǎn), 的方向分別為軸、軸、軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,得下列坐標(biāo):

設(shè)平面的一個(gè)法向量,則

,∴,解之得

又∵.∴,

所以直線與平面所成角的正弦值為

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