Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）函數(shù)的圖象能否與軸相切？若能與軸相切，求實(shí)數(shù)的值；否則，請說明理由；

（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)能取到的最大整數(shù)值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1．

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程進(jìn)行分析求解；（2）依據(jù)題設(shè)條件借助等比數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解：

（1），

假設(shè)函數(shù)的圖象與軸相切于點(diǎn)，則有，

即，

由②可知，代入①中可得．

∵，

∴，即，

∵，

∴方程無解，

故無論取何值，函數(shù)的圖象都不與軸相切．

（2）記，

由題意知在上恒成立．

由，可得， 的必要條件是，

若，則，

當(dāng)時(shí)， ，故，

下面證明：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立．

令，則．

記，則，

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增且；

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減且，

∵．

∴存在唯一的使得，且當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增．

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，∴，∴，

從而恒成立，故能取得的最大整數(shù)為1．