12.已知f(x)=2cos(ωx-$\frac{π}{2}$)cos(${ωx+\frac{π}{6}}$)+2sin2ωx-1(ω>0),直線y=$\frac{1}{2}$與f(x)的圖象交點之間最短距離為π.
(Ⅰ) 求f(x)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別是a、b、c若有(2a-c)cosB=bcosC,則求角B的大小以及f(A)的取值范圍.

分析 (1)化簡得f(x)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx-$\frac{1}{2}$=sin(2ωx-$\frac{π}{6}$)-$\frac{1}{2}$,由直線y=$\frac{1}{2}$與f(x)的圖象交點之間最短距離為π可知f(x)周期為π,求出ω,結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性求出
f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)由(2a-c)cosB=bcosC得2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC,整理得cosB=$\frac{1}{2}$,于是B=$\frac{π}{3}$,由A的范圍得出2A-$\frac{π}{6}$的范圍,從而求出f(A)的范圍.

解答 解;(1)f(x)=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-sin2ωx+2sin2ωx-1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx-$\frac{1}{2}$=sin(2ωx-$\frac{π}{6}$)-$\frac{1}{2}$,
∵直線y=$\frac{1}{2}$與f(x)的圖象交點之間最短距離為π,
∴f(x)的周期T=π,即$\frac{2π}{2ω}$=π,∴ω=1.
∴f(x)=sin(2x-$\frac{π}{6}$)-$\frac{1}{2}$.
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ,解得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ,
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-$\frac{π}{6}$+kπ,$\frac{π}{3}$+kπ],k∈Z.
(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC,
即2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA,
∵sinA≠0,∴cosB=$\frac{1}{2}$,∴B=$\frac{π}{3}$.
f(A)=sin(2A-$\frac{π}{6}$)-$\frac{1}{2}$,
∵0<A<$\frac{2π}{3}$.∴$-\frac{π}{6}$<2A-$\frac{π}{6}$<$\frac{7π}{6}$,
∴當(dāng)2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時,f(A)取得最大值$\frac{1}{2}$,
當(dāng)2A-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$或2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時,f(x)取得最小值-1.
∴f(A)的取值范圍是(-1,$\frac{1}{2}$].

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換和性質(zhì),確定A的范圍是關(guān)鍵.

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